Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，點P在邊BC上，若△ABP與△DCP相似．則△APD一定是（　　）

• A、直角三角形
• B、等腰三角形
• C、等腰直角三角形
• D、等腰三角形或直角三角形

Answer 1

分析：根據題意△ABP與△DCP相似，分兩種情況討論，①當

AB

PC

=

BP

CD

時，②當

AB

CD

=

BP

PC

時，代入數值，即可解答出；

解答：解：∵△ABP與△DCP相似，
∴①當

AB

PC

=

BP

CD

時，
∵AB=4，AD=10，
∴

4

10-BP

=

BP

4

，
解得，BP=2或BP=8；
當BP=2時，AP=2

5

，PD=4

5

，
∴AP²+PD²=AD²，
當BP=8時，AP=4

5

，PD=2

5

，
∴AP²+PD²=AD²，
綜上，△APD是直角三角形；
∴②當

AB

CD

=

BP

PC

時，
∴BP=PC=5，
∴AP=PD=

41

，
∴AP²+PD²≠AD²，
∴△APD是等腰三角形．
故選D．

點評：本題主要考查了矩形的性質及相似三角形的性質，注意根據已知，分類討論相似的條件，體現了分類討論思想．