Question

【題目】如圖，點A，B，C，D是直徑為AB的⊙O上四個點，C是劣弧的中點，AC交BD于點E，AE＝2，EC＝1．

（1）求證：△DEC∽△ADC；

（2）連結DO，探究四邊形OBCD是否是菱形？若是，請你給予證明；若不是，請說明理由；

（3）延長AB到H，使BH＝OB，求證：CH是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是，見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據等弧所對的圓周角相等得出，從而證明△DEC∽△ADC；

（2）首先利用（1）的結論求出DC，再利用勾股定理計算AB，根據計算結果可以判定四邊形OBCD是菱形；

（3）連接交于，利用（2）的結論證明BG是△OHC的中位線，進而得出BG∥CH，最后根據切線的判定定理進行證明．

解：（1）是劣弧的中點，

，

又，

；

（2）由（1）得，

，

，

是的直徑，

．

，

，

，

四邊形是菱形；

（3）連接交于，

四邊形是菱形，

且，

又已知，

∴BG是△OHC的中位線，

∴，

，

是的切線．