Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC²=PE•PO
（1）求證：PC是⊙O的切線．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑．
（3）在（2）的條件下，求sin∠PCA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據PC²=PE•PO和∠P=∠P，可證明△PCO∽△PEC，則∠PCO=∠PEC，再由已知條件即可得出PC⊥OC；
（2）設OE=x，則AE=2x，根據切割線定理得PC²=PA•PB，則PA•PB=PE•PO，解一元二次方程即可求出x，從而得出⊙O的半徑；
（3）連接BC，根據PC是⊙O的切線，得∠PCA=∠B，根據勾股定理可得出CE，BC，由三角函數的定義可得出答案．
解答：（1）證明：連接OC，
∵PC²=PE•PO，
∴=，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：設OE=x，
∵OE：EA=1：2，
∴AE=2x，
∵PC²=PA•PB，
∴PA•PB=PE•PO，
∵PA=6，
∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），
解得，x=1，
∴OA=3x=3，
∴⊙O的半徑為3．

（3）解：連接BC，
∵PC²=PA•PB，
∴PC=6，
∴CE===2，
∴BC===2，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCA=∠B，
∴sin∠PCA=sin∠B===．
點評：本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質、勾股定理、垂徑定理相似三角形的判定和性質以及銳角三角函數的定義的綜合應用，是中考壓軸題，難度中等．