Question

如圖，AB是⊙0的直徑，弦AC長為4a，弦BC長為5a，∠ACB的平分線交⊙0于點D，則CD的長為

9 2

2

a

．

Answer 1

分析：作DF⊥CA，交CA的延長線于點F，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB．由CD平分∠ACB，根據角平分線的性質得出DF=DG，由HL證明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=

9

2

，又△CDF是等腰直角三角形，從而求出CD的長．

解答：解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延長線上，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，

AD

=

BD

，
∴DA=DB．
∵∠AFD=∠BGD=90°，
在Rt△ADF和Rt△BDG，

AD=BD DF=BD

，
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF=BG．
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF=CG．
∵AC=4a，BC=5a，
∴4a+AF=5a-AF，
∴AF=

1

2

a，
∴CF=

9

2

a，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=

9

2

2

a．
故答案為：

9 2

2

a．

點評：本題綜合考查了圓周角的性質，圓心角、弧、弦的對等關系，全等三角形的判定，角平分線的性質等知識點的運用．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是作出輔助線，利用數形結合思想求解．