Question

如圖所示，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，圓心O₁在⊙O₂上，連心線O₁O₂與⊙O₁交于點C、D，與⊙O₂交于點E，與AB交于點H，連結AE．

(1)求證：AE為⊙O₁的切線；

(2)若⊙O₁的半徑r＝1，⊙O₂的半徑R＝，求公共弦AB的長；

(3)取HB的中點F，連結O₁F，并延長與⊙O₂相交于點G，連結EG，求EG的長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：如圖所示，連結AO1． 　　∵O1E為⊙O2的直徑． 　　∴∠O1AE＝90°．又∵O1A為⊙O1的半徑， 　　∴AE為⊙O1的切線; 　　(2)解：如圖所示，∵O1A＝r＝1，O1E＝2R＝3，△AO1E為直角三角形，又∵AB⊥O1E，∴△AO1H∽△EO1A． 　　∴O1A2＝O1H·O1E，∴O1H＝． 　　∴AB＝2AH＝2＝; 　　(3)解：如圖所示，∵F為HB的中點， 　　∴HF＝AB＝， 　　∴O1F＝＝． 　　∵∠HO1F＝∠GO1E， 　　∴Rt△O1HF∽Rt△O1GE，∴， 　　∴GE＝，即EG＝＝．