Question

如圖1是我們常用的一次性紙杯，下面我們來研究一次性紙杯的制作方法之一．如圖2，取一個半徑為18cm的圓形紙板，再裁下一個半徑為6cm的同心圓紙板，沿半徑OA、OB及CD、AB剪下，由AB、CD及線段AC和BD圍成的部分即可圍成紙杯側面，然后在扇形OCD中再截去一個面積最大的圓形紙板．①、若∠AOB=60°，利用圖3求裁去的面積最大的圓形紙板半徑．②、①中的圓形紙板足夠做紙杯的底面，但要進行簡單的剪裁，至此，紙杯也就制成了，通過以上數據，請你計算一次性紙杯的高，并回答它最接近于哪一個整數值．

Answer 1

分析：①當原型紙板與OC、OD、弧CD相切時面積最大，設紙板的圓心為M，作MF⊥OC，利用勾股定理即可求得紙板的半徑；
②首先求得杯頂的圓的半徑減去杯底的半徑，利用勾股定理即可求得其高度．

解答：解：①∵原型紙板與OC、OD、弧CD相切時面積最大，
如圖設紙板的圓心為M，作MF⊥OC，
設MF=x，則OM=6-x，
在Rt△MFO中，∠MOF=30°，
則OM=2MF，
即6-x=2x，
解得x=2
∴裁去的面積最大的圓形紙板半徑為2cm；
②弧AB的長為

120π×18

180

=12π，
設杯子頂的半徑為r，
則2πr=12π，
故r=6，
杯子頂部的半徑為6cm，
同理可得杯子底邊的半徑為2cm
∴杯子的高為

(18-6)2-(6-2)2

≈11.31cm
∴杯子的高最接近整數11．

點評：本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是從實際問題中整理出圓錐的模型并利用圓錐的知識求解．