Question

已知拋物線y＝x²－(m²＋5)x＋2m²＋6，求證不論m為何實數，拋物線與x軸必有兩個交點，并且有一個交點是(2，0)．

Answer 1

答案：
解析：

取y＝0得x2－(m2＋5)x＋2m2＋6＝0，Δ＝(m2＋5)2－4(2m2＋6)＝m4＋10m2－8m2－24＋25＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，不論m為何實數，m2≥0，m2＋1＞0，(m2＋1)2＞0，即Δ＞0，所以方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸必有兩個交點．把(2，0)代入y＝x2－(m2＋5)x＋2m2＋6，左邊＝0，右邊＝4－2(m2＋5)＋2m2＋6＝0，因為左邊＝右邊，所以(2，0)適合解析式y＝x2－(m2＋5)x＋2m2＋6，即點(2，0)在該拋物線上，所以該拋物線與x軸有一個交點為(2，0)