Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與y軸交于點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC.現有兩動點P，Q分別從0，C兩點同時出發，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x輔于點F．設動點P，Q移動的時間為t（單位：秒）．
【小題1】求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點坐標；
【小題2】當O<t<時’△PQF的面積是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由
【小題3】當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．

Answer 1

【小題1】
令y=0,得：x²-8x-180=0
即：（x-18）(x+10)=0
所以：x₁=18；x₂=-10
所以：A（18，0）                                     （1分）
在中，令x=10得y=10
即：B（0，-10）                                      （2分）
由于BC//OA
故得：
X=8或x=0,
即：C（8，10）                                       （3分）
頂點坐標為（4，）
于是，A（18，0），B(0,-10), C(8,-10),頂點坐標為（4，）
【小題2】設點P運動t秒，則OP=4t.CQ=t,0<t<4.5               (5分
說明點P在線段OA上，且不與點O，A重合。
由于QC//OP知 ∆QDC~∆PDO, 故
所以：AF=4t=OP
所以：PF=PA+AF=PA+OP=18                          (6分)
又點Q到直線PF的距離d=10
所以S_∆PQF="1/2" PF×d="1/2" ×18×10=90
于是∆PQF的面積總為90；                                （8分）
【小題3】由上知P(4t,0) ,F(18+4t,0);
Q(8-t,-10),0<t<4.5
構造直角三角形后易得.

                (9分)
①若FP=PQ,即
得：
因為：0<t<4.5
所以：
(不合題意，舍去)                         （10分）
②若PQ=QF,即，無0<t<4.5的t 的滿足條件。（11分）
③若PF=QF,即。得
5t+10=

又0<t<4.5,
所以
綜上所述，當時，∆PQR是等腰三角形。           （12分）解析:
（1）已知拋物線的解析式，當x=0時，可求得B的坐標；由于BC∥OA，把B的縱坐標代入拋物線的解析式，可求出C的坐標；當y=0時，可求出A的坐標．求頂點坐標時用公式法或配方法都可以；
（2）當0＜t＜時，根據OA=18，P點的速度為4單位/秒，可得出P點總在OA上運動．△PQF中，Q到PF的距離是定值即OB的長，因此只需看PF的值是否有變化即可得出S_△PQF是否為定值，已知QC∥PF，根據平行線分線段成比例定理可得出：，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的長為定值即PF的長為定值，因此△PQF的面積是不會變化的．其面積的值可用OA•OB求出；
（4）可先用t表示出P，F，Q的坐標，然后根據坐標系中兩點間的距離公式得出PF²，PQ²，FQ²，進而可分三種情況進行討論：
①△PFQ以PF為斜邊．則PF²=PQ²+FQ²，可求出t的值．
②△PFQ以PQ為斜邊，方法同①
③△PFQ以FQ為斜邊，方法同①．
綜合三種情況即可得出符合條件的t的值