Question

【題目】在直角坐標系中，我們將圓心坐標和半徑均為整數的圓稱為“整圓”．如圖所示，直線l：y＝kx+4與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB＝30°，點P在x軸上，⊙P與l相切，當P在線段OA上運動時，使得⊙P成為“整圓”的點P個數是_____個．

Answer 1

【答案】6．

【解析】

根據直線的解析式求得OB＝4，進而求得OA＝12，根據切線的性質求得PM⊥AB，根據∠OAB＝30°，求得PM＝PA，然后根據“整圓”的定義，即可求得使得⊙P成為整圓的點P的坐標，從而求得點P個數．

∵直線l：y＝kx+4與x軸、y軸分別交于A、B，

∴B(0，4)，

∴OB＝4，

在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，

∴OA＝OB＝×4＝12，

∵⊙P與l相切，設切點為M，連接PM，則PM⊥AB，

∴PM＝PA，

設P(x，0)，

∴PA＝12﹣x，

∴⊙P的半徑PM＝PA＝6﹣x，

∵x為整數，PM為整數，

∴x可以取0，2，4，6，8，10，6個數，

∴使得⊙P成為整圓的點P個數是6．

故答案是：6．