Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A、B的坐標；
（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；
（3）在過點E（4，0）的真線上是否存在這樣的點M，使得∠AMB為直角？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標；
（2）求出點C的坐標，然后求出AB的長，再根據三角形的面積公式求出△ABC的面積，再求出直線AC的解析式，根據拋物線的解析式求出對稱軸，設對稱軸與直線AC相交于H，根據S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，列式求出DH的長，再分點D在AC的上方與下方兩種情況討論求出點D的坐標即可；
（3）根據直徑所對的圓周角是直角，以AB為直徑作⊙F，過點E的直線與⊙F的切點即為所求的點M，連接FM，過點M作MN⊥x軸于N，先求出EF、FN再根據勾股定理列式求出ME，然后根據△FMN和△FEM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出MN、FN，再求出ON，再分點M在x軸上方與下方兩種情況寫出點M的坐標．
解答：解：（1）令y=0，則-x²-x+3=0，
整理得，x²+2x-8=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴點A（-4，0），B（2，0）；

（2）令x=0，則y=3，
所以，點C的坐標為（0，3），
又∵AB=2-（-4）=2+4=6，
∴S_△ABC=×6×3=9，
設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
所以，直線AC的解析式為y=x+3，
拋物線的對稱軸為直線x=-=-1，
所以，x=-1時，y=（-1）×+3=，
設對稱軸與直線AC相交于H，
則點H的坐標為（-1，），
∵△ACD的面積等于△ACB的面積，
∴S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，
=DH×4=6，
解得DH=，
點D在AC的上方時，+=，
此時點D的坐標為（-1，），
點D在AC的下方時，-=-，
此時，點D的坐標為（-1，-），
綜上所述，△ACD的面積等于△ACB的面積時，點D的坐標為（-1，）或（-1，-）；

（3）根據直徑所對的圓周角是直角，以AB為直徑作⊙F，
則過點E的直線與⊙F的切點即為所求的點M，
如圖，連接FM，過點M作MN⊥x軸于N，
∵A（-4，0），B（2，0），E（4，0），
∴點F（-1，0），
FM=×6=3，EF=4+1=5，
根據勾股定理，ME===4，
易得△FMN∽△FEM，
∴==，
即==，
解得MN=，FN=，
∴ON=FN-OF=-1=，
∴點M在x軸上方時，點M的坐標為（，），
點M在x軸下方時，點M的坐標為（，-），
綜上所述，點M的坐標為（，）或（，-）．
點評：本題考查了關鍵是二次函數、一次函數以及圓等知識的綜合運用．難點在于第（3）問中對于∠AMB為直角的理解，這可以從直線與圓的位置關系方面入手解決．本題難度較大，需要同學們對所學知識融會貫通、靈活運用．