Question

先閱讀，再填空，再解答后面的相關問題：
（1）方程x²-x-2=0的根是x₁=2，x₂=-1，則x₁+x₂=1，x₁•x₂=-2
（2）方程2x²-3x-5=0的根是，則
（3）方程3x²-2x-1=0的根是x₁=______，x₂=______，則x₁+x₂=______，x₁•x₂=______．
根據對以上（1）、（2）、（3）的觀察、思考，你能否猜出：如果關于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數且n²-4mp≥0）的兩根x₁、x₂，那么x₁+x₂、x₁•x₂與系數m、n、p有什么關系？請寫出你的猜想并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：先由（1）、（2）、（3）得出方程的兩根與其系數的關系，找出規律即可得出關于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數且n²-4mp≥0）的兩根x₁、x₂，那么x₁+x₂、x₁•x₂與系數m、n、p的關系．
解答：解：（1）∵方程x²-x-2=0的二次項系數是1、一次項系數為-1，常數項為-2，
方程的根是x₁=2，x₂=-1，x₁+x₂=1，x₁•x₂=-2，
∴方程的兩根x₁+x₂=-=1，x₁•x₂==-2；
（2）∵方程2x²-3x-5=0的二次項系數是2、一次項系數為-3，常數項為-5，
方程的根是x₁=-1，x₂=，x₁+x₂=，x₁•x₂=-，
∴方程的兩根x₁+x₂=-=，x₁•x₂==-；
（3）∵程3x²-2x-1=0的根是x₁=-，x₂=1，
∵x₁+x₂=-=，x₁•x₂==-，
∴關于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數且n²-4mp≥0）的兩根x₁、x₂，
則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
點評：本題考查的是根與系數的關系，由（1）、（2）、（3）中各方程的兩根之和與兩根之積與方程系數的關系找出規律是解答此題的關鍵．