Question

如圖1，將邊長為2cm的兩個互相重合的正方形紙片按住其中一個不動，另一個繞點B順時針旋轉一個角度，若使重疊部分的面積為cm²，則這個旋轉角度為    度．
如圖2，將上述兩個互相重合的正方形紙片沿對角線AC翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一個等腰直角三角形沿AC移動，若重疊部分△A′PC的面積是1cm²，則它移動的距離AA′等于    cm．

Answer 1

【答案】分析：（1）設CD與A′D′交于點G，連接BG，易得BG為ABCG的對稱軸；故S_△BCG=；則CG=；易得∠GBC=30度．故這個旋轉角度為30°．
（2）平移中，得到的是相似三角形，若重疊部分△A′PC的面積是1cm²，則A′C=2cm；則AA′=（2-2）cm．
解答：解：（1）設CD與A′D′交于點G，連接BG．
在△A′BG與△CBG中，
∵∠A′=∠C=90°，BG=BG，A′B=CB，
∴△A′BG≌△CBG．
∴BG為四邊形A′BCG的對稱軸．
∴S_△BCG=S_{四邊形A′BCG}=，
又∵BC=2，
∴CG=．
∴tan∠GBC=，
∴∠GBC=30°，
∴∠A′BC=2∠GBC=60°．
∴∠CBC′=30°，
故這個旋轉角度為，30°．

（2）∵△A′PC∽△ABC，
∴=，
又∵三角形ABC的面積=×2×2=2cm²，△A′PC的面積是1cm²，AC=2cm，
∴A′C=2cm，
∴AA′=AC-A′C=（2-2）cm．
點評：本題考查軸對稱的性質，對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應角、對應線段都相等．