Question

如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=，矩形CDEF內接于半圓，點C，D在AB上，點E，F在半圓上．
（1）當矩形CDEF相鄰兩邊FC：CD=：2時，求弧AF的度數；
（2）當四邊形CDEF是正方形時：
①試求正方形CDEF的邊長；
②若點G，M在⊙O上，GH⊥AB于H，MN⊥AB于N，且△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，求HN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓的對稱性，矩形CDEF內接于半圓可得CO=OD，進而得出tan∠FOC==，即可得出弧AF的度數；
（2）①利用四邊形CDEF是正方形，則FC=2CO，由FC²+CO²=（2）²，求出CO即可；
②根據△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，得出DH=HG，HN=MN，利用OH²+HG²=OG²，求出DH的長，進而利用ON²+NM²=OM²，求出HN的長即可．
解答：解：（1）連接FO，
根據圓的對稱性，矩形CDEF內接于半圓可得CO=OD，
∴Rt△COF中，tan∠FOC==，
∴∠FOC=60°，
∴弧AF的度數為60°；

（2）①∵四邊形CDEF是正方形，
∴FC=2CO，
∵FC²+CO²=（2）²，
解得：CO=2，
∴CF=4，正方形的邊長為4，
②連結OG，OM，
∵△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，
∴DH=HG，HN=MN
在Rt△OGH中，OH²+HG²=OG²，
設DH=x，則（2+x）²+x²=（2）²，
解得x=2 或x=-4（舍去），
在Rt△OMN中，ON²+NM²=OM²，設HN=y，
∴（2+2+y）²+y²=（2）²，
解得：y=-2±（舍去負值），
∴HN=-2．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及勾股定理的應用等知識，根據已知熟練利用勾股定理是解題關鍵．