Question

【題目】如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）試探究線段EF、OD、OP之間的等量關系，并加以證明；
（3）若BC=6，tan∠F= ，求cos∠ACB的值和線段PE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OB，

∵PB是⊙O的切線，

∴∠PBO=90°，

∵OA=OB，BA⊥PO于D，

∴AD=BD，∠POA=∠POB，

又∵PO=PO，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴OA⊥PA，

∴直線PA為⊙O的切線

（2）解：EF2=4ODOP．

證明：∵∠PAO=∠PDA=90°

∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，

∴∠OAD=∠OPA，

∴△OAD∽△OPA，

∴ ，即OA2=ODOP，

又∵EF=2OA，

∴EF2=4ODOP

（3）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，

∴OD= BC=3（三角形中位線定理），

設AD=x，

∵tan∠F= ，

∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3，

在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，

解之得，x1=4，x2=0（不合題意，舍去），

∴AD=4，OA=2x﹣3=5，

∵AC是⊙O直徑，

∴∠ABC=90°，

又∵AC=2OA=10，BC=6，

∴cos∠ACB= = ．

∵OA2=ODOP，

∴3（PE+5）=25，

∴PE= ．

【解析】（1）連接OB，根據垂徑定理的知識，得出OA=OB，∠POA=∠POB，繼而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質結合切線的判定定理即可得出結論．（2）先證明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性質得出OA與OD、OP的關系，然后將EF=20A代入關系式即可．（3）根據題意可確定OD是△ABC的中位線，設AD=x，然后利用三角函數的知識表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，繼而能求出cos∠ACB，再由（2）可得 OA2=ODOP，代入數據即可得出PE的長．