Question

已知：拋物線y=a（x-2）²+b（ab＜0）的頂點為A，與x軸的交點為B，C（點B在點C的左側）．
（1）直接寫出拋物線對稱軸方程；
（2）若拋物線經過原點，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；
（3）若D為拋物線對稱軸上一點，則以A，B，C，D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，請寫出a，b滿足的關系式；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據y=a（x-2）²+b直接得出答案；
（2）根據直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0），以及拋物線經過原點，得出B（0，0），C（4，0），進而求出AE=BE=EC，當拋物線的頂點為A（2，-2）時，以及當拋物線的頂點為A′（2，2）時求出即可；
（3）根據B、C關于點E中心對稱，當A，D也關于點E對稱，且BE=AE時，四邊形ABDC是正方形，即可求出．

解答：解：（1）拋物線對稱軸方程：直線x=2．（2分）

（2）設直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0）．
∵拋物線經過原點，
∴B（0，0），C（4，0）．（3分）
∵△ABC為直角三角形，根據拋物線的對稱性可知AB=AC，
∴AE=BE=EC，
∴A（2，-2）或（2，2）．
當拋物線的頂點為A（2，-2）時，y=a（x-2）²-2，
把（0，0）代入，得：a=

1

2

，
此時，b=-2．（5分）
當拋物線的頂點為A′（2，2）時，y=a（x-2）²+2，
把（0，0）代入，得：a=-

1

2

，此
時，b=2．
∴a=

1

2

，b=-2或a=-

1

2

，b=2．（7分）

（3）依題意，B、C關于點E中心對稱，當A，D也關于點E對稱，且BE=AE時，四邊形ABDC是正方形．
∵A（2，b），
∴AE=|b|，
∴B（2-|b|，0），
把B（2-|b|，0）代入y=a（x-2）²+b，得ab²+b=0，
∵b≠0，
∴ab•b+b=0，
∴b=-ab²，即

ab2

b

=-1，-ab=1，
∴ab=-1．（10分）

點評：此題主要考查了二次函數的頂點式的應用以及二次函數的對稱性，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．