Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接DE．

（1）求BE的長；（2）求△ACD外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)∠ACB=90°得到AD為圓O的直徑，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得三角形ADE為直角三角形，又AD是△ABC的角平分線，可得∠CAD=∠EAD，從而得到CD=ED，利用HL證明Rt△ACD與Rt△AED全等，得出AC=AE，再用AB-AE可求出EB的長

（2）由（1）∠AED=90°，得到DE與AB垂直，可得三角形BDE為直角三角形，設(shè)DE=CD=x，則BD=12-x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為CD的長，在直角三角形ACD中，由AC及CD的長，利用勾股定理即可求出AD的長，進(jìn)而得出外接圓半徑．

解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB為圓O的圓周角（已知），

∴AD為圓O的直徑（90°的圓周角所對的弦為圓的直徑），

∴∠AED=90°（直徑所對的圓周角為直角），

又AD是△ABC的角平分線（已知），

∴∠CAD=∠EAD（角平分線定義），

∴CD=DE（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等），

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；

∵△ABC為直角三角形，且AC=5，CB=12，

∴根據(jù)勾股定理得：AB==13，

∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；

（2）由（1）得到∠AED=90°，則有∠BED=90°，

設(shè)CD=DE=x，則DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，

在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD2=BE2+ED2 ，

即（12﹣x）2=x2+82 ，

解得：x=，

∴CD=，又AC=5，△ACD為直角三角形，

∴根據(jù)勾股定理得：AD=，

根據(jù)AD是△ACD外接圓直徑，

∴△ACD外接圓的半徑為：．