Question

如圖，⊙O過四邊形ABCD的四個頂點，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，則：
①AD=CD，②BD=AB+CB，③點O是∠ADC平分線上的點，④AB²+BC²=2CD²，
上述結論中正確的編號是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD=45°，再根據同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得=，然后根據同弧所對的弦相等可得AD=CD，判斷出①正確；連接AC，根據直徑所對的圓周角是直角可得點O在AC上，根據等腰三角形三線合一的性質可得點O是∠ADC平分線上的點，判斷出③正確；再利用勾股定理求出AB²+BC²=2CD²，判斷出④正確；點B的位置確定，②BD=AB+CB無法求出．
解答：解：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴=，
∴AD=CD，故①正確；
連接AC，∵∠ABC=90°，
∴點O在AC上，AC為⊙O的直徑，
又∵AD=CD，
∴點O是∠ADC平分線上的點，故③正確；
在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=2CD²，
∴AB²+BC²=2CD²，故④正確；
∵點B的位置不確定，
∴BD=AB+CB無法求出，故②錯誤；
綜上所述，正確的結論有①③④．
故答案為：①③④．
點評：本題考查了圓周角定理，角平分線的定義，直徑所對的圓周角是直角，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，勾股定理的應用，綜合題，但難度不大．