Question

如圖所示，我市某中學數學課外活動小組的同學，利用所學知識去測量沱江流經我市某段的河寬．小凡同學在點A處觀測到對岸C點，測得∠CAD=45°，又在距A處60米遠的B處測得∠CBA=30°，
（1）請你根據這些數據求出河寬是多少？（結果保留根號）
（2）填空：若把條件“∠CBA=30°”改為“sin B=5：13”則此時河寬=

 

米．

Answer 1

分析：過C作AB的垂線CD，則直角△ACD和直角△BCD有公共邊CD，在兩個直角三角形中，利用三角函數即可用CD表示出AD與BD，根據AB=AD-BD即可列方程，從而求得CD的長．

解答：解：
（1）過點C作CD⊥AB于點D．
在直角△ACD中，∠ACD=45°，則直角△ACD是等腰直角三角形，則AD=CD．
在直角△BCD中，∠CBD=90-60=30°
∴BD=

3

•CD
∵AB=BD-AD
∴60=

3

CD-CD
∴CD=

60

3 -1

=30（

3

+1）米．
故該船繼續航行（沿原方向）無觸礁的危險；

（2）∵sin B=5：13，
∴tan∠DCB=

12

5

，
∴BD=

12

5

CD，
則

12

5

CD-CD=60，
解得：CD=

300

7

米．
故答案是：

300

7

．

點評：本題主要考查了三角形的計算，一般的三角形可以通過作高線轉化為解直角三角形的計算，計算時首先計算直角三角形的公共邊是常用的思路．