Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．

（1）直接寫出點A，B的坐標，并求直線AB與CD交點的坐標；

（2）動點P從點C出發，沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動；同時，動點M從點A出發，沿線段AB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，過點P作，垂足為H，連接，．設點P的運動時間為秒．

①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求的值；

②點Q是點B關于點A的對稱點，問是否有最小值，如果有，求出相應的點P的坐標；如果沒有，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1），．···································································· 1分

當時，，．

所以直線AB與CD交點的坐標為．···················································· 2分

（2）

當0＜＜時，△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即△MPH的面積．

 

過點M作，垂足為N．

由△AMN∽△ABO，得．

∴．∴．········································································ 4分

∴△MPH的面積為．

當時，．············································································· 5分

當＜≤3時，設MH與CD相交于點E，△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即

△PEH的面積．

過點M作于G，交HP的延長線于點F．

．

．

由△HPE∽△HFM，得．

∴．∴．································································ 8分

∴△PEH的面積為．

當時，．

綜上所述，若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，為1或．·················· 9分

（3）有最小值．

連接PB，CH，則四邊形PHCB是平行四邊形．

∴．     ∴．

當點C，H，Q在同一直線上時，的值最小．···································· 11分

∵點C，Q的坐標分別為，，    ∴直線CQ的解析式為，

∴點H的坐標為．     因此點P的坐標為．······························ 12分

解析:略