Question

如圖1，點(diǎn)C、B分別為拋物線(xiàn)C₁：y₁=x²+1，拋物線(xiàn)C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂的頂點(diǎn)．分別過(guò)點(diǎn)B、C作x軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)C₁、C₂于點(diǎn)A、D，且AB=BD．
【小題1】求點(diǎn)A的坐標(biāo)：
【小題2】如圖2，若將拋物線(xiàn)C₁：“y₁=x²+1”改為拋物線(xiàn)“y₁=2x²+b₁x+c₁”．其他條件不變，求CD的長(zhǎng)和a₂的值；
【小題3】如圖2，若將拋物線(xiàn)C₁：“y₁=x²+1”改為拋物線(xiàn)“y₁=4x²+b₁x+c₁”，其他條件不變，求b₁+b₂的值　2　（直接寫(xiě)結(jié)果）．

Answer 1

【小題1】如圖，連接AC、BC，設(shè)直線(xiàn)AB交y軸于點(diǎn)E，
∵AB∥x軸，CD∥x軸，C、B為拋物線(xiàn)C₁、C₂的頂點(diǎn)，
∴AC=BC，BC=BD，
∵AB=BD，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACE=30°，
設(shè)AE=m，
則CE=AE=m，
∵y₁=x²+1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣m，1+m），
∵點(diǎn)A在拋物線(xiàn)C₁上，
∴（﹣m）²+1=1+m，
整理得m²﹣m=0，
解得m₁=，m₂=0（舍去），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，4）；（3分）
【小題2】如圖2，連接AC、BC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，
設(shè)拋物線(xiàn)y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x﹣h₁）²+k₁，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（h₁，k₁），
設(shè)AE=m，
∴CE=m，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（h₁﹣m，k₁+m），
∵點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y₁=2（x﹣h₁）²+k₁上，
∴2（h₁﹣m﹣h₁）²+k₁=k₁+m，
整理得，2m²=m，
解得m₁=，m₂=0（舍去），
由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
∵AB=2AE=，
∴CD=，
即CD的長(zhǎng)為，
根據(jù)題意得，CE=BC=×=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（h₁+，k₁+），
又∵點(diǎn)B是拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)，
∴y₂=a₂（x﹣h₁﹣）²+k₁+，
∵拋物線(xiàn)C₂過(guò)點(diǎn)C（h₁，k₁），
∴a₂（h₁﹣h₁﹣）²+k₁+=k₁，
整理得a₂=﹣，
解得a₂=﹣2，
即a₂的值為﹣2；（3分）
【小題3】根據(jù)（2）的結(jié)論，a₂=﹣a₁，
CD=﹣﹣（﹣）=+=，
根據(jù)（1）（2）的求解，CD=2×，
∴b₁+b₂=2．（4分）
解析:
（1）連接AC、BC，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可得AC=BC，BC=BD，再根據(jù)已知條件AB=BD，可以證明得到△ABC是等邊三角形，所以∠ACE=30°，然后設(shè)AE=m，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CE的長(zhǎng)，再根據(jù)拋物線(xiàn)C₁：y₁=x²+1求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)C₁的解析式，然后解關(guān)于m的一元二次方程求出m的值，代入即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)拋物線(xiàn)y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x﹣h₁）²+k₁，然后表示出C的坐標(biāo)，再設(shè)AE=m，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CE的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)C₁，整理后解關(guān)于m的一元二次方程，再根據(jù)（1）的結(jié)論即可求出CD的長(zhǎng)；根據(jù)CD的長(zhǎng)求出CE的長(zhǎng)度，然后表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B在是拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)，從而得到拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)式解析式，然后根據(jù)點(diǎn)C在拋物線(xiàn)C₂上，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)C₂的解析式，整理求解即可得到a₂的值；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論可知，a₂=﹣a₁，然后利用兩拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸表示出CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)（1）（2）的求解過(guò)程可得CD=2×，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．