Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交過點B的射線于D，交AB于F，且BC=BD．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若AE=9，CE=12，求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明BD是⊙O的切線，由已知條件轉化為證明∠DBA=90°即可；
（2）連接AC，利用三角形相似求出BE的值，由勾股定理求出BC的值，由已知條件再證明△EFC∽△BFD，相似三角形的性質利用：對應邊的比值相等即可求出BF的長．
解答：（1）證明：∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°．
∵CD平分∠ECB，BC=BD，
∴∠1=∠2，∠2=∠D．
∴∠1=∠D，
∴CE∥BD，
∴∠DBA=∠CEB=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：連接AC，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°．
∵CE⊥AB，
可得CE²=AE•EB，
∵AE=9，CE=12，
∴EB=16，
在Rt△CEB中，∠CEB=90，由勾股定理得 BC=20，
∴BD=BC=20，
∵∠1=∠D，∠EFC=∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴=，
即
∴BF=10．
點評：本題考查了切線的判定定理、圓周角定理、相似三角形判定和相似三角形的性質以及勾股定理的運用，題目綜合性很強，難度不大．