Question

某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：

(1)操作發現：

在等腰△ABC，AB＝AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是________(填序號即可)

①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④MD⊥ME

(2)數學思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數量關系？請給出證明過程；

(3)類比探究：

(i)在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MEC的形狀．答：________．

(ii)在三邊互不相等的△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE，M是BC的中點，連接MD和ME，要使(2)中的結論時仍然成立，你認為需增加一個什么樣的條件？(限制用題中字母表示)并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：●操作發現：①②③④ 　　●數學思考： 　　答：MD＝ME， 　　1、MD＝ME； 　　如圖2，分別取AB，AC的中點F，G，連接DF，MF，MG，EG， 　　∵M是BC的中點， 　　∴MF∥AC，MF＝AC． 　　又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線， 　　∴EG⊥AC且EG＝AC， 　　∴MF＝EG． 　　同理可證DF＝MG． 　　∵MF∥AC， 　　∴∠MFA＋∠BAC＝180°． 　　同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°， 　　∴∠MFA＝∠MGA． 　　又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°． 　　同理可得∠DFA＝90°， 　　∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＝∠EGA， 　　即∠DFM＝∠MEG，又MF＝EG，DF＝MG， 　　∴△DFM≌△MGE(SAS)， 　　∴MD＝ME． 　　●類比探究 　　(1)答：等腰直角三解形 　　(2)增加條件∠BAD＝∠CAE或∠BAD＋∠CAE＝∠BAC