Question

已知：如圖，⊙P與x軸相切于坐標原點O，點A（0，2）是⊙P與y軸的交點，點B（-2，0）在x軸上．連接BP交⊙P于點C，連接AC并延長交x軸于點D．
（1）求線段BC的長；
（2）求直線AC的關系式；
（3）當點B在x軸上移動時，是否存在點B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合條件的點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）方法一：在直角三角形BOP中，根據勾股定理列方程求解；
方法二：延長BP交⊙P于G，根據切割線定理進行計算．
（2）要求直線AC的解析式，關鍵是求得點C的坐標．過點C作CE⊥x軸于E，CF⊥y軸于F，根據平行線分線段成比例定理求得CE、CF的長，再根據點C所在的象限寫出它的坐標，從而根據待定系數法寫出直線的解析式．
（3）要使△BOP相似于△AOD，因為∠OPB＞∠OAD，所以∠OBP=∠OAD，結合圓周角定理，得∠OPB=2∠OBP，從而求得∠OBP=30°，則OB=cot30°•OP=，即可寫出點B的坐標，再根據對稱性可以寫出點B的另一種情況．
解答：解：（1）
法一：由題意，得OP=1，BO=2，CP=1．
在Rt△BOP中
∵BP²=OP²+BO²，
∴（BC+1）²=1²+（2）²，
∴BC=2．
法二：延長BP交⊙P于G，如圖所示，由題意，得OB=2，CG=2，
∵OB²=BC•BG，
∴（2）²=BC•（BC+2），
BC=2．

（2）如圖所示，過點C作CE⊥x軸于E，CF⊥y軸于F．
在△PBO中，
∵CF∥BO，
∴．
即，
解得CF=．
同理可求得CE=．
因此C（-，）．
設直線AC的函數關系式為y=kx+b（k≠0）．
把A（0，2），C（-，）兩點代入關系式，得
，
解得．
∴所求函數關系式為y=x+2．

（3）如圖所示，在x軸上存在點B，使△BOP與△AOD相似．
∵∠OPB＞∠OAD，
∴∠OPB≠∠OAD．
故若要△BOP與△AOD相似，
則∠OBP=∠OAD．
又∠OPB=2∠OAD，
∴∠OPB=2∠OBP．
∵∠OPB+∠OBP=90°，
∴3∠OBP=90°，
∴∠OBP=30°．
因此OB=cot30°•OP=．
∴B₁點坐標為（-，0）．
根據對稱性可求得符合條件的B₂坐標（，0）．
綜上，符合條件的B點坐標有兩個：
B₁（-，0），B₂（，0）．
點評：此題綜合運用了勾股定理、切割線定理、圓周角定理、平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定方法．要求能夠熟練運用待定系數法求得函數的解析式．