Question

已知a、b、c為自然數，且a²+b²+c²+42＜4a+4b+12c，且a²-a-2＞0，則代數式

1

a

+

1

b

+

1

c

的值為（　�。�

• A、1
• B、

  7

  6

• C、10
• D、11

Answer 1

分析：先由a²-a-2＞0得到a＞2或a＜-1，再變形a²+b²+c²+42＜4a+4b+12c為：（a-2）²+（b-2）²+（c-6）²＜2，得到a=3，進而得到（b-2）²+（c-6）²＜1，再得到b=2，c=6，故能求得

1

a

+

1

b

+

1

c

的值．

解答：解：由a²-a-2＞0，a為自然數，可知a＞2，
將化a²+b²+c²+42＜4a+4b+12c為（a-2）²+（b-2）²+（c-6）²＜2，
因為（a-2）²、（b-2）²、（c-6）²都大于0，
當a≥4時，上式不成立，所以自然數a只能取值為3．
當a=3時，代入上式，得：
（b-2）²+（c-6）²＜1，
所以只能使（b-2）²=0，（c-6）²=0，即b=2，c=6，
所以

1

a

+

1

b

+

1

c

=1．
故選A．

點評：本題的關鍵是把不等式轉化成平方的形式，然后分析在什么情況下小于2，從而求出a，b，c的值．