Question

（2009•太原）問題解決：
如圖（1），將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C，D重合），壓平后得到折痕MN．當時，求的值．
類比歸納：
在圖（1）中，若，則的值等于______；若，則的值等于______；若（n為整數），則的值等于______．（用含n的式子表示）
聯系拓廣：
如圖（2），將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C，D重合），壓平后得到折痕MN，設，則的值等于______．（用含m，n的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：如圖（1-1），連接BM，EM，BE．由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱．由軸對稱的性質知MN垂直平分BE．有BM=EM，BN=EN．由于四邊形ABCD是正方形，則有∠A=∠D=∠C=90°，設AB=BC=CD=DA=2．由得，CE=DE=1；設BN=x，則NE=x，NC=2-x．在Rt△CNE中，由勾股定理知NE²=CN²+CE²．即x²=（2-x）²+1²可解得x的值，從而得以BN的值，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，由勾股定理知AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，有AM²+AB²=DM²+DE²．
設AM=y，則DM=2-y，y²+2²=（2-y）²+1²可求得y的值，得到AM的值從而得到．
解答：解：（1）方法一：如圖（1-1），連接BM，EM，BE．
由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱．
∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，設AB=BC=CD=DA=2．
∵，
∴CE=DE=1．
設BN=x，則NE=x，NC=2-x．
在Rt△CNE中，NE²=CN²+CE²．
∴x²=（2-x）²+1²，
解得x=，即BN=．
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，
∴AM²+AB²=DM²+DE²．
設AM=y，則DM=2-y，
∴y²+2²=（2-y）²+1²，
解得y=，即AM=（6分）
∴．
方法二：同方法一，BN=．
如圖（1-2），過點N做NG∥CD，交AD于點G，連接BE．
∵AD∥BC，
∴四邊形GDCN是平行四邊形．
∴NG=CD=BC．
同理，四邊形ABNG也是平行四邊形．
∴AG=BN=
∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．
∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，
∴∠EBC=∠MNG．
在△BCE與△NGM中
，
∴△BCE≌△NGM，EC=MG．
∵AM=AG-MG，AM=-1=．
∴．

（2）如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，連接BE，=，
不妨令CD=CB=n，則CE=1，設BN=x，則EN=x，EN²=NC²+CE²，x²=（n-x）²+1²，x=；
作MH⊥BC于H，則MH=BC，
又點B，E關于MN對稱，則MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，則△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=-1=
則：==．
故當=，則的值等于；若=，則的值等于；

（3）若四邊形ABCD為矩形，連接BE，=，不妨令CD=n，則CE=1；
又==，則BC=mn，同樣的方法可求得：
BN=，
BE⊥MN，易證得：△MHN∽△BCE．故=，=，
HN=，故AM=BH=BN-HN=，
故==．

故答案為：；；；．
點評：本題利用了：1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、正方形和矩形的性質，勾股定理求解．