Question

某中學租用兩輛小轎車（設速度相同）同時送1名帶隊老師及7名七年級的學生到某地參加數學競賽，每輛車限坐4人（不包括司機）．其中一輛小轎車在距離考場15km的地方出現故障，此時距離競賽開始還有42分鐘，唯一可利用的交通工具是另一輛小轎車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是12km/h（上、下車時間忽略不計）．
（1）小明提議：可以讓另一輛小轎車先送4名學生走，再返回來接我們．你認為小明的提議合理嗎？通過計算說明理由．
（2）小強提議：讓另一輛小轎車先送4名學生走，而其他4名師生同時步行前往，小轎車到達考場之后再返回途中接送其他人．請你求出小轎車在距離考場多遠處與另外4名師生相遇？
（3）按小強的建議這7名學生能在競賽開始前進入考場嗎？為什么？
（4）附加題：在現有條件下，是否存在一種運送方案，使老師及7名學生能同時到達考場參加競賽．若存在，請你求出學生到達考場時，距離競賽開始還有多長時間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于小汽車在距離考場15千米的地方出現故障，所以另一輛小汽車把自己車上的人送到市區后再回來送這一批人所走的路程應該為15×3，如果根據已知條件計算即可判斷是否進考場的時刻前到達考場；
（2）設這車送4人到達后返回，再經過x小時后碰到另外步行的4人，那么車和步行的人是相遇問題，由此即可路程方程解決問題；
（3）求出到達考場所用的時間，再比較即可解答．
（4）用車送4人，另4人同時步行，車送到某一地點時讓車上4人下車步行，車返回去接先期步行的4人，當8人同時到達考場時，所需要的時間為最少．設車走了x小時后回去接另外4人，那么依題意車走的路程為60x，剩下的路程（15-60x），所以此時人步行的時間為[（15-60x）÷12]小時，而另四個人先走了12x，還剩下（15-60x）千米，需要（15-60x）÷60小時，然后根據它們同時到達即可路程方程解決問題．

解答：解：（1）所需要的時間是：15×3÷60×60=45分鐘，
∵45＞42，
∴不能在截至進考場的時刻前到達考場．

（2）設車送4人到達后返回，再經過x小時后碰到另外步行的4人，則：
60x+12x=15-

15

60

×12，
有：x=

1

6

．
60×

1

6

=10千米，即在距離考場10千米處與另外4名師生相遇．

（3）所需要的時間是：

15

60

+2×

1

6

=

7

12

小時，
即35分鐘，
∵35＜42，
∴這7名學生能在競賽開始前進入考場．

（4）存在，
用車送4人，另4人同時步行．車送到某一地點時讓車上4人下車步行，車返回去接先期步行的4人，當8人同時到達考場時，所需要的時間為最少．
設車走了x小時后回去接另外4人，則有：

15-60x

12

=2×

60x-12x

60+12

+

15-60x

60

，
解得：x=

3

16

，
∴總時間為：x+

15-60x

12

=

5

4

-4x=

1

2

（小時），
∴所有學生、教師都到達考場，最少需要時間為

1

2

小時．

點評：本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．此題在設計方案的基礎上，這樣設計方案會更節省時間，汽車送第一批人的同時，第二批人先以12千米/時速度步行，汽車把第一批人送到距考場S千米的A處后，回來接第二批人．同時，第一批人也以12千米/時的速度繼續趕往考場，使兩批人同時到達考場，在汽車來回接人的過程中，多了第一批人在步行，顯然所用時間比設計方案少，故此方案這8人都能趕到考場，且最省時間．