Question

國家推行“節能減排\低碳經濟”政策后，低排量的汽車比較暢銷，某汽車經銷商購進A，B兩種型號的低排量汽車，其中A型汽車的進貨單價比B型汽車的進貨單價多2萬元,花50萬元購進A型汽車的數量與花40萬元購進B型汽車的數量相等，銷售中發現A型汽車的每周銷量（臺）與售價（萬元/臺）滿足函數關系式，B型汽車的每周銷量（臺）與售價萬元/臺）滿足函數關系式．

（1）求A、B兩種型號的汽車的進貨單價；

（2）已知A型汽車的售價比B型汽車的人售價高2萬元/臺，設B型汽車售價為萬元/臺．每周銷售這兩種車的總利潤為萬元，求與的函數關系式，A、B兩種型號的汽車售價各為多少時，每周銷售這兩種車的總利潤最大？最大總利潤是多少萬元？

Answer 1

（1）A：10萬元；B：8萬元；（2）

【解析】

試題分析：（1）設A型的單價為m萬元，則B型的單價為m－2萬元，根據數量相等列出分式方程進行求解；（2）B型的利潤為：（t－8）萬元，A型的利潤為：（t+2－10）萬元，根據總利潤=A型利潤+B型利潤列出函數關系式，然后將函數化成頂點式，求出最值．

試題解析：（1）設A種型號的汽車的進貨單價為m萬元， 依題意得：=，

解得：m=10， 檢驗：m=10時，m≠0，m﹣2≠0， 故m=10是原分式方程的解，

故m﹣2=8．

答：A種型號的汽車的進貨單價為10萬元，B種型號的汽車的進貨單價為8萬元；

（2）根據題意得出：

W=（t+2﹣10）[﹣（t+2）+20]+（t﹣8）（﹣t+14）=﹣2t2+48t﹣256，=﹣2（t﹣12）2+32，

∵a=﹣2＜0，拋物線開口向下， ∴當t=12時，W有最大值為32， ∴12+2=14，

答：A種型號的汽車售價為14萬元/臺，B種型號的汽車售價為12萬元/臺時，每周銷售這兩種車的總利潤最大，最大總利潤是32萬元．

考點：分式方程的應用、二次函數的實際應用．