Question

【題目】如圖1，已知拋物線經過A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三點，其頂點為D，對稱軸是直線，與x軸交于點H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點P是該拋物線對稱軸上的一個動點，求△PBC周長的最小值；

（3）如圖2，若E是線段AD上的一個動點（E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，△ADF的面積為S．

①試求S與m的函數關系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）＋

（3）①S＝；②存在，S最大值為1，E(－2，－2)

【解析】

（1）設交點式，然后把點坐標代入求出即可得到拋物線解析式；

（2）利用配方法得到，從而得到，拋物線的對稱軸為直線，連接交直線于，如圖1，利用兩點之間線段最短得到此時的值最小，周長的最小值，然后利用勾股定理計算出和即可得到周長的最小值；

（3）①如圖2，先利用待定系數法求出直線的解析式為，設，，則，則可表示出，根據三角形面積公式，利用得到；

②先利用配方法得到，然后根據二次函數的性質解決問題．

解：（1）由題意得，解得

∴該拋物線的表達式為

（2）∵△PBC的周長為：PB＋PC＋BC

又∵BC是定值

∴當PB＋PC最小時，△PBC的周長最小．

∵點A，點B關于對稱軸l對稱．

∴連接AC交l于點P，即點P為所求點．

∴AP＝BP

∴△PBC的周長最小值是：PB＋PC＋BC＝AC＋BC

∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)

∴AC＝，BC＝

故△PBC的周長最小值為＋

（3）①∵拋物線的表達式為＝

∴點D的坐標為(－1，－4)

設直線AD的表達式為，把點A(－3，0)，D(－1，－4)代入

得 ，解得

∴直線AD的表達式為

∵點E的橫坐標為m．

∴E(m，－2m－6)，F(m，)

∴EF＝＝

∴S＝

＝

＝

＝

＝

∴S與m的函數表達式為S＝

②存在．

∵S＝＝

∴當m＝－2時，S最大，最大值為1．

此時點E的坐標為(－2，－2)．

本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質；會利用待定系數法求函數解析式，會求拋物線與軸的交點坐標；能利用兩點之間線段最短解決最短路徑問題．