Question

如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于圓，在劣弧AB上取異于A、B的點M，設直線AC與BM相交于K，直線CB與AM相交于點N，
證明：線段AK和BN的乘積與M點的選擇無關．

Answer 1

解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BAK=∠ABN=120°．
又∠AMK=∠C=60°，
∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠K，
∴∠K=∠BAM，
∴△ABK∽△BNA，
∴，
即AK•BN=AB²．
故線段AK和BN的乘積與M點的選擇無關．
分析：要想證明線段AK和BN的乘積與M點的選擇無關，則需證明它們的乘積是一個定值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)△ABK和△BNA中有兩個角對應相等，從而證明兩個三角形相似，進一步證明即可．
點評：此題綜合運用了等邊三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．