Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于C（0，2），連接AC、BC．
（1）求拋物線解析式；
（2）BC的垂直平分線交拋物線于D、E兩點，求直線DE的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點坐標代入拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）中，列方程組求a、b、c的值即可；
（2）如圖1，設BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過點M作MF⊥x軸于F．可得△BMF∽△BCO，根據相似三角形的性質，垂直平分線的性質和勾股定理可求直線DE上兩點M、N的坐標，再根據待定系數法可求直線DE的解析式；
解答：解：（1）將A、B、C三點坐標代入可得：，
解得：，
故這個拋物線的解析式為y=x²-x+2；

（2）解法一：
如圖1，設BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過點M作MF⊥x軸于F，
∴△BMF∽△BCO，
∴===．
∵B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，BO=4，
∴MF=1，BF=2，
∴M（2，1），
∵MN是BC的垂直平分線，
∴CN=BN，
設ON=x，則CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=，
∴N（，0）．     
設直線DE的解析式為y=kx+b，
依題意，得：，
解得：．
∴直線DE的解析式為y=2x-3．              
解法二：
如圖2，設BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過點C作CF∥x軸交DE于F．
∵MN是BC的垂直平分線，
∴CN=BN，CM=BM．
設ON=x，則CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=，
∴N（，0）．     
∴BN=4-=．
∵CF∥x軸，
∴∠CFM=∠BNM．
∵∠CMF=∠BMN，
∴△CMF≌△BMN．
∴CF=BN．
∴F（，2）．                             
設直線DE的解析式為y=kx+b，
依題意，得：，
解得：．
∴直線DE的解析式為y=2x-3．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用，關鍵是由已知條件由待定系數法求函數解析式，以及相似三角形的性質，垂直平分線的性質和勾股定理的運用，綜合性較強，有一定的難度．