Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且x1＜x2，與y軸交于點C（0，﹣4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的兩個根．

（1）求A、B兩點坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點M是線段AB上的一個動點（不與A、B兩點重合），過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接CM，在M點運動時，△CMN的面積是否存在最大值？若存在，求出△CMN面積最大時點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）．（2）y=x2﹣x﹣4．（3）存在，點M的坐標為（2，0）．

【解析】

(1)通過解方程能求出兩根,再根據題干給出的大小關系確定A、B點的坐標.
(2)已知A、B、C三點坐標,利用待定系數法即可確定該函數的解析式.
(3)首先設點M的坐標,然后表示出AM的長;已知MN//BC,利用相似三角形三角形AMN、三角形ABC求出三角形AMN的面積表達式;以AM為底、OC為高易得三角形ACM的面積, 三角形ACM、三角形AMN的面積差即為三角形MNC的面積,再根據所得函數的性質來判斷三角形MNC是否具有最大面積.

解：（1）∵x2﹣4x﹣12=0，

∴x1=﹣2，x2=6．

即：A（﹣2，0），B（6，0）．

（2）∵拋物線過點A、B、C，

∴設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣6），將點C的坐標代入，得：

﹣4=a（0+2）（0﹣6），

解得a=．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4．

（3）存在．

設點M的坐標為（m，0），過點N作NH⊥x軸于點H

∵點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（6，0），

∴AB=8，AM=m+2．

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．

∴=，∴=，

∴NH=

∴S△CMN

=S△ACM﹣S△AMN

=AMCO﹣AMNH

=（m+2）（4﹣）

=﹣m2+m+3

=﹣（m﹣2）2+4．

∴當m=2時，S△CMN有最大值4．

此時，點M的坐標為（2，0）．