Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB>∠ABC，三條內角平分線AD，BE，CF相交于點I.

(1)若∠ABE＝25°，求∠DIC的度數；

(2)在(1)的條件下，圖中互余的角有多少對？列舉出來；

(3)過I點作IH⊥BC，垂足為H，試問∠BID與∠HIC相等嗎？為什么？

(4)G是AD延長線上一點，過G點作GP⊥BC，垂足為P，試探究∠G與∠ABC，∠ACB之間的數量關系，直接寫出結論，不需證明．

Answer 1

【答案】（1）65°；（2）12對，祥見解析；（3）相等，理由見解析（4）∠G＝(∠ACB－∠ABC)，理由見解析.

【解析】

（1）先由角平分線的定義求出∠ABC＝50°，再由三角形內角和和角平分線的定義可知∠IAC＋∠ICA=65°，然后由三角形外角的性質解答即可；

（2）根據互余兩個角的和等于90°，結合（1）中求得的結論求解即可；

（3）由(2)知∠BID＝90°－∠BCF，又由IH⊥BC得∠HIC＝90°－∠BCF從而可證BID與∠HIC相等；

（4）由三角形外角的性質可得∠PDG=∠ABC+∠BAD=90°+∠ABC-∠ACB，由直角三角形兩直角互余可得∠G＝90°-∠PDG，整理可得∠G＝(∠ACB－∠ABC).

解：(1)∵BE平分∠ABC，∠ABE＝25°，

∴∠ABC＝50°.

∴∠BAC＋∠ACB＝130°.

∵AD平分∠BAC，CF平分∠ACB，

∴∠IAC＝∠BAC，∠ICA＝∠ACB，

∴∠IAC＋∠ICA＝ (∠BAC＋∠ACB)＝×130°＝65°，

∴∠DIC＝∠IAC＋∠ICA＝65°.

(2)由(1)知∠DIC與∠ABE互余，則∠DIC與∠EBC互余．

又∵∠DIC＝∠AIF，

∴∠AIF與∠ABE互余，∠AIF與∠EBC互余．

同理，∠BID與∠ACF，∠BCF互余；∠AIE與∠ACF，∠BCF互余；∠CIE與∠BAD，∠CAD互余；∠BIF與∠BAD，∠CAD互余，一共有12對互余的角．

(3)由(2)知∠BID＝90°－∠BCF，∵IH⊥BC，

∴∠HIC＝90°－∠BCF.∴∠BID＝∠HIC.

(4) ∠G＝(∠ACB－∠ABC).

理由：

∵AI平分∠BAC，

∴∠BAD=∠BAC，

∴∠PDG=∠ABC+∠BAD

=∠ABC+∠BAC

=∠ABC+(180°-∠ABC-∠ACB)

=90°+∠ABC-∠ACB.

∵GP⊥BC，

∴∠G＝90°-∠PDG

＝90°-(90°+∠ABC-∠ACB)

=(∠ACB－∠ABC)．