Question

已知：拋物線y=﹣x²﹣2（a﹣1）x﹣（a²﹣2a）與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜1＜x₂。
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用a表示）；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C，求△ABC的面積；
（3）若a是整數(shù)，P為線段AB上的一個動點(diǎn)（P點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合），在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點(diǎn)為Q，求拋物線的解析式及線段PQ的長的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0）， ∴x1、x2是關(guān)于x的方程﹣的解； 方程可化簡為x2+2（a﹣1）x+（a2﹣2a）=0； 解方程，得x=﹣a或x=﹣a+2； ∵x1＜x2，﹣a＜﹣a+2， ∴x1=﹣a，x2=﹣a+2 ∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣a，0），B（﹣a+2，0）； （2）∵AB=2，頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為， ∴△ABC的面積等于； （3）∵x1＜1＜x2， ∴﹣a＜1＜﹣a+2 ∴﹣1＜a＜1； ∵a是整數(shù)， ∴a=0，即所求拋物線的解析式為y=﹣x2+2x； 此時頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（1，）如圖，作CD⊥AB于D，連接CQ，則AD=1，CD=，tan∠BAC=， ∴∠BAC=60°由拋物線的對稱性可知△ABC是等邊三角形； 由△APM和△BPN是等邊三角形，線段MN的中點(diǎn)為Q可得，點(diǎn)M、N分別在AC和BC邊上，四邊形PMCN的平行四邊形，C、Q、P三點(diǎn)共線，且PQ=PC； ∵點(diǎn)P線段AB上運(yùn)動的過程中，P與A、B兩點(diǎn)不重合，DC≤PC＜AC，DC=，AC=2， ∴≤PQ＜1。