Question

（2000•荊門）已知：E是正方形ABCD的邊BC上的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD一點(diǎn)，AE平分∠BAF．
求證：AF=BC+CF．

Answer 1

【答案】分析：證法1：作EM⊥AF于M，連接EF，根據(jù)已知和正方形的性質(zhì)分別證明Rt△ABE≌Rt△AMERt，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出EM=BE，F(xiàn)M=FC，從而得出結(jié)論．
證法2：過中點(diǎn)E作EM∥AB，交AF于M．通過中位線的性質(zhì)證明EM=（AB+CF），從而得出結(jié)論．
解答：證法1：作EM⊥AF于M．∵∠B=90°，
∴∠B=∠AME=90°，
∵∠1=∠2，AE是公共邊，
∴BE=EM，∴Rt△ABE≌Rt△AME．∴AM=AB=BC，EM=BE．①
連接EF，E是BC中點(diǎn)，∴EC=BE=EM∴Rt△EMF≌Rt△ECF，∴FM=FC、②
綜合①、②得AF=AM+MF=BC+CF．

證法2：過中點(diǎn)E作EM∥AB，交AF于M．則AM=MF，且∠1=∠2=∠3．
∴EM=AM=AF
∵EM=（AB+CF），
∴AF=AB+CF=BC+CF．
點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，及全等三角形的判定和性質(zhì)．合理的將AF分成與BC，CF相等的兩份是解題的關(guān)鍵，本題難度較大．