Question

【題目】如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，AC為其對角線，∠ABC=60°點M、N是分別是邊BC、邊CD上的動點，且MB=NC．連接AM、AN、MN．MN交AC于點P．

（1）△AMN是什么特殊的三角形？說明理由．并求其面積最小值；

（2）求點P到直線CD距離的最大值；

（3）如圖2，已知MB=NC=1，點E、F分別是邊AM、邊AN上的動點，連接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形，理由參見解析，3；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）△AMN是等邊三角形，AM⊥BC時面積最小．只要證明△AMB≌△ANC，推出AM=AN，∠BAM=∠CAN即可解決問題．（2）如圖2中，當(dāng)AM⊥BC時，點P到CD距離最大．作PE⊥CD于E．（3）如圖3中，作點P關(guān)于AN的對稱點為K，過點K做AM的垂線，交AN為F，交AM為E，此時，EF+PF最短，連接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．首先求出AM、AG的長，再證明△AGP≌△KEA，推出KE=AG即可．

試題解析：（1）如圖1中，

∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，在△AMB和△ANC中，AB=AC，∠B=∠ACN=60°，BM=NC，∴△AMB≌△ANC，∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，∴∠MAN=60°，∴△AMN為等邊三角形，當(dāng)AM⊥BC時，△AMN的邊長最小，面積最小，此時AM=MN=AN=2，S△AMN=（2）2=3；（2）如圖2中，

當(dāng)AM⊥BC時，點P到CD距離最大．作PE⊥CD于E．理由：由（1）可知△AMN是等邊三角形，當(dāng)AM⊥BC時，△AMN的邊長最小，此時PA長最小，PC的長最大，點P到直線CD的距離最大，∵BM=MC=2，∠CMP=30°，∠MPC=90°，∴PC=MC=1，在Rt△PCE中，∵∠CPE=30°，PC=1，∴EC=PC=，∴PE==．∴點P到直線CD距離的最大值為；（3）如圖3中，作點P關(guān)于AN的對稱點為K，過點K做AM的垂線，交AN為F，交AM為E，此時，EF+PF最短，由于對稱，PF=KF，EF為垂線段（垂線段最短）．

連接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．在Rt△BMH中，∵BM=1，∠BMH=30°，∴BH=，HM=，∴AH=，AM==，∵△AMN是等邊三角形，∴AG=．∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC，∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°，∠NAP+∠ANP+∠APN=180°，∠ANP=∠PCM=60°，∠APN=∠CPM，∴∠CMP=∠NAP=∠NAK，∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK，∴∠APG=∠EAK，∵∠AGP=∠AEK=90°，AP=AK，∴△AGP≌△KEA，∴KE=AG=．∴EF+PF的最小值為．