Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且BC=CD=2AD，過點(diǎn)D作DE∥AB，交∠BCD的平分線于點(diǎn)E，連接BE．將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCG，連接EG．
（1）求證：CD垂直平分EG．
（2）求證：直線BE平分線段CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，只需說(shuō)明ED=GD，CE=CG，即可證明；
（2）根據(jù)已知條件，要證明直線BE平分線段CD，如圖，只需證明PD=AD，借助全等，只要證明△BAD≌△BPD，即可證明．
解答：證明：（1）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵BC=CD，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴BE=DE，
由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知CE=CG，BE=DG，
∴DE=DG，
∴C，D都在EG的垂直平分線上，
∴CD垂直平分EG．

（2）連接BD，延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)P，
由（1）知BE=DE，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DE，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠4=∠DBC，
又∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∴∠4=∠BDP，
又∵BD=BD，
∴△BAD≌△BPD，
∴DP=AD，
∴CD=2AD=2DP，
∴DP=PC=CD，
∴直線BE平分線段CD．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、線段的垂直平分線和全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知條件巧妙構(gòu)造輔助線，把證明線段相等轉(zhuǎn)化到全等三角形中或根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析．