Question

小明在平面上標出了2007個點并畫了一條直線L，他發(fā)現(xiàn)：這2007個點中的每一點關(guān)于直線L的對稱點，仍在這2007個點中，請你說明：這2007個點中至少有1個點在直線L上．

Answer 1

證明：假設這2007個點都不在直線L上，
由于其中每個點A_i（i=1，2，…，2007）關(guān)于直線L的對稱點A′₁仍在這2007個點中，
所以A′_i不在直線L上．
也就是說，不在直線L上點A_i（i=1，2，2007）與A_i關(guān)于直線L對稱的點A′_i成對出現(xiàn)，
即平面上標出的點的總數(shù)應是偶數(shù)個，與點的總數(shù)2007相矛盾，
因此，“這2007個點都不在直線L上”的假設不能成立，即這2007個點中至少有1個點在直線L上．
分析：首先假設這2007個點都不在直線L上，得出每個點A_i（i=1，2，…，2007）關(guān)于直線L的對稱點A′₁仍在這2007個點中，
不在直線L上點A_i（i=1，2，2007）與A_i關(guān)于直線L對稱的點A′_i成對出現(xiàn)，即平面上標出的點的總數(shù)應是偶數(shù)個，與點的總數(shù)2007相矛盾．
點評：此題主要考查了反證法的應用，從命題的反面出發(fā)，假設出2007個點都不在直線L上，根據(jù)平面上點的坐標性質(zhì)得出矛盾，進而肯定命題正確是解決問題的關(guān)鍵．