Question

如圖，已知直線y=2x+2與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax²-2ax+c過點C且與直線y=2x+2交于點A（5，12）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）D為x軸上方拋物線上一點，若△DCO與△DBO的面積相等，求D點的坐標；
（3）在線段AB上是否存在點P，過P作x軸的垂線交拋物線于E點，使得以P、B、E為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由直線AC的解析式確定點C的坐標，在已知點A坐標的情況下，利用待定系數法可確定拋物線的解析式．
（2）點B、C的坐標易知，那么OB、OC的倍數關系不難求出，那么在△DCO、△DBO中，分別以CO、BO為底進行討論，若兩三角形的面積相等，可確定點D到x軸、y軸距離的比例關系（或邊CO、邊OB上的高的比例關系），首先根據這個關系設出點D的坐標，再代入（1）的拋物線中即可確定該點的坐標．
（3）由于PE⊥x軸，即PE∥OB，顯然有∠BPE=∠CBO，若“以P、B、E為頂點的三角形與△BOC相似”，只需在△BPE中找出一個直角即可，那么分兩種情況討論：
①PB⊥BE，此時直線BE、直線AC的斜率乘積為-1，先確定直線BE的解析式，聯立拋物線的解析式后可確定點P的坐標；
②PE⊥BE，由于PE⊥x軸，那么必有BE∥x軸，因此只需將點B的縱坐標代入拋物線的解析式中，進一步可確定點P的坐標；
另外，需要注意的是點P在線段AB上，求出結果后不要忘記根據這個條件對值進行取舍．
解答：解：（1）由直線y=2x+2知：點C（-1，0）、B（0，2）；
拋物線y=ax²-2ax+c過點C（-1，0）、A（5，12），有：
，解得
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）由（1）知：OB=2、OC=1；
由題意知：S_△DBO=S_△DCO，則：
×BO×|x_D|=×CO×|y_D|，即：|y_D|=2|x_D|
∴可以設點D的坐標為：（x，2x）或（x，-2x）（x＜-1或x＞3），代入拋物線的解析式中，有：
當點D坐標為（x，2x）時，有：x²-2x-3=2x；解得：x₁=2-（舍），x₂=2+；
當點D坐標為（x，-2x）時，有：x²-2x-3=-2x；解得：x₃=（舍），x₄=-；
∴點D的坐標為：（2+，4+2）或（-，2）．

（3）∵PE⊥x軸，且BO⊥CO，
∴PE∥BO，即∠CBO=∠BPE；
若以P、B、E為頂點的三角形與△BOC相似，那么：
①PB⊥BE，如圖①；
由于直線BE與直線AC垂直，且過點B（0，2），所以：
直線BE：y=-x+2；
聯立拋物線的解析式，有：
-x+2=x²-2x-3，解得：x₁=、x₂=（舍）；
將點P橫坐標代入直線AC：y=2x+2中，得：y=；
∴P₁（，）．
②PE⊥BE，如圖②；
∵PE∥y軸，且PE⊥BE，
∴BE∥x軸，即 點B、E的縱坐標相同；
令x²-2x-3=2，解得：x₁=1-（舍）、x₂=1+；
將點P橫坐標代入直線AC：y=2x+2中，得：y=4+2；
∴P₂（1+，4+2）．
綜上，存在符合條件的點P，且坐標為（，）或（1+，4+2）．
點評：該題涉及到利用待定系數法確定函數解析式、三角形面積的解法、函數圖象交點坐標的求法以及相似三角形的判定和性質等重點知識；（2）題中，能夠由三角形的面積相等得出點D橫縱坐標的倍數關系是突破題目的關鍵；（3）題容易漏解，要注意根據不同情況分類討論．