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拋物線y=ax2+bx+c中,b,c是非零常數,無論a為何值(0除外),其頂點M一定在直線y=kx+1上,這條直線和x軸,y軸分別交于點E,A,且OA=OE.
(1)求k的值;
(2)求證:這條拋物線經過點A;
(3)經過點A的另一條直線y=mx+n和這條拋物線只有一個公共點,經過點M作x軸的平行線和直線y=mx+n交于點B,經過點B作x軸的垂線和這條拋物線交于點C,和直線y=kx+1交于點D,探索CD和BC的數量關系.

【答案】分析:(1)根據直線解析式可得點A的坐標為(0,1),則可得點E的坐標為(-1,0),代入直線解析式,可求出k的值.
(2)將頂點M的坐標代入直線解析式,再由無論a為何值(0除外),其頂點M一定在直線y=kx+1上,可得出b、c的值,繼而可判斷這條拋物線經過點A.
(3)根據拋物線與直線只有一個交點,求出m的值,繼而得出B、C、D的坐標,求出BC、CD的長度,即可得出CD和BC的數量關系.
解答:解:(1)∵直線解析式為y=kx+b,
∴點A的坐標為(0,b),
又∵OA=OE
∴點E的坐標為(-b,0),
將點E的坐標代入直線解析式可得:0=-kb+b,
解得:k=1;

(2)將頂點M的坐標為()代入y=x+1化簡得:(4c-4)a=b2-2b,
∵無論a為和何值,等式都成立,所以4c-4=0,b2-2b=0,
∴c=1,b=2,
即拋物線解析式為y=ax2+2x+1,
將點A(0,1)代入拋物線解析式可得:1=1,
∴拋物線經過點A.

(3)由題意:方程mx+1=ax2+2x+1的△=0,
即(2-m)2=0,
解得:m=2,
故可得點B,C,D的坐標分別是B(-),C(-),D(-),
則可得BC=CD=||.
點評:本題考查了二次函數的綜合題,涉及了待定系數法求函數解析式、拋物線與直線的交點問題,同學們注意培養自己解決綜合題的能力,將所學知識融會貫通.
練習冊系列答案
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已知點(2,8)在拋物線y=ax2上,則a的值為(  )
A、±2
B、±2
2
C、2
D、-2

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如圖,在平面直角坐標系中,以A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交于B、C,與y軸的負半軸相交于D.
(1)若拋物線y=ax2+bx+c經過B、C、D三點,求此拋物線的解析式,并寫出拋物線與圓A的另一個交點E的坐標;
(2)若動直線MN(MN∥x軸)從點D開始,以每秒1個長度單位的速度沿y軸的正方向移動,且與線段CD、y軸分別交于M、N兩點,動點P同時從點C出發,在線段OC上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動,連接PM,設運動時間為t秒,當t為何值時,
MN•OPMN+OP
的值最大,并求出最大值;
(3)在(2)的條件下,若以P、C、M為頂點的三角形與△OCD相似,求實數t的值.精英家教網

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若(2,0)、(4,0)是拋物線y=ax2+bx+c上的兩個點,則它的對稱軸是直線(  )
A、x=0B、x=1C、x=2D、x=3

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如圖,在直角坐標平面內,O為原點,拋物線y=ax2+bx經過點A(6,0),且頂點B(m,6)在直線y=2x上.
(1)求m的值和拋物線y=ax2+bx的解析式;
(2)如在線段OB上有一點C,滿足OC=2CB,在x軸上有一點D(10,0),連接DC,且直線DC與y軸交于點E.
①求直線DC的解析式;
②如點M是直線DC上的一個動點,在x軸上方的平面內有另一點N,且以O、E、M、N為頂點的四邊形是菱形,請求出點N的坐標.(直接寫出結果,不需要過程.)
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科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•陜西)如果一條拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個交點,那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.
(1)“拋物線三角形”一定是
等腰
等腰
三角形;
(2)若拋物線y=-x2+bx(b>0)的“拋物線三角形”是等腰直角三角形,求b的值;
(3)如圖,△OAB是拋物線y=-x2+b′x(b′>0)的“拋物線三角形”,是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD?若存在,求出過O、C、D三點的拋物線的表達式;若不存在,說明理由.

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