Question

已知，如圖：AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC=45°．給出以下四個結論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③劣弧是劣弧的2倍；④AE=BC．其中正確結論的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先連接AD，OE，OD，由直徑對的圓周角是直角，即可求得∠ADB=∠AEB=90°，又由AB=AC，根據等腰直角三角形的性質，即可求得BD=DC，求得∠ABC與∠ABE的度數，則可得①②正確，又可求得∠AOE與∠DOE的度數，根據弧與圓心角的關系，即可得③正確．
解答：解：連接AD，OE，OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
故②正確；
∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABE=90°-∠BAC=45°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°；
故①正確；
∵∠DOE=2∠BAD=∠BAC=45°，∠AOE=2∠ABE=90°，
∴∠AOE=2∠DOE，
∴劣弧是劣弧的2倍；
故③正確；
∵∠BEC=∠AEB=90°，∠ABE=45°，∠EBC=22.5°，
∴△AEB不一定全等于△BCE，
∴AE不一定等于BC．
故④錯誤．
故答案為：①②③．
點評：此題考查了圓周角定理、弧與圓心角的關系、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握數形結合思想的應用．