Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，半徑為2的圓與y軸交點A，點P（4，2）是⊙O外一點，連接AP，直線PB與⊙O相切于點B，交x軸于點C．
（1）證明PA是⊙O的切線；
（2）求點B的坐標；
（3）求直線AB的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）OB=OA=2，推出AP∥x軸，推出AP⊥OA，根據切線的判定推出即可；
（2）根據切線長定理求出PA=PB=4，根據勾股定理得出x²+y²=2²，4²=（x-4）²+（y-2）²，求出x=0，y=2（舍去）或x=，y=-，即可得出B的坐標；
（3）求出A（0，2），設直線AB的解析式是y=kx+2，把B的坐標代入求出k即可．
解答：（1）證明：∵以點O為圓心，半徑為2的圓與y軸交點A，
∴OA=2，
∵P（4，2），
∴AP∥x軸，
∵y軸⊥x軸，
∴AP⊥OA，
∵OA為半徑，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：設B（x，y），
∵OB=2，
∴x²+y²=2²，①
∵P（4，2），PA和PB都是⊙O切線，
∴PA=PB=4，
∴4²=（x-4）²+（y-2）²，②，
解由①②組成的方程組得：x=0，y=2（舍去）或x=，y=-，
∴B的坐標是（，-）；

（3）解：∵OA=2，
∴A（0，2），
∴設直線AB的解析式是y=kx+2，
把B的坐標代入得：-=k+2，
k=-2，
即直線AB的解析式是y=-2x+2．
點評：本題考查了切線長定理，切線的性質和判定，勾股定理，用待定系數法求一次函數的解析式等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力．