Question

【題目】感知：如圖，在中，，點分別在邊上，連接點分別為的中點，則與的數量關系是： ．

探究：把繞點順時針方向旋轉，如圖，連接

證明：

的度數為 _

應用：把繞點在平面內自由旋轉，若面積的最大值為___________．

Answer 1

【答案】感知：；探究：詳見解析；；

【解析】

感知：由題意可得BD=CE，由三角形中位線可得BD=2PM，CE=2PN，可得PM=PN；

探究：（1）由“SAS”可證，由三角形中位線定理可得BD=2PM，CE=2PN，可得PM=PN；

（2）由全等三角形的性質可得∠ABD=∠ACE，由平行線的性質可得∠BDE=∠MPE，∠BNP=∠BCE，由三角形外角性質可求∠MPN=60°，可證△PMN是等邊三角形，即可求解；

應用：先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大值是AB+AD=12，即可求解.

解：感知：∵AB=AC，AD=AE

∴BD=CE

∴ BD=2PM，CE=2PN

∴PM=PN

故答案為PM=PN.

探究：

證明：

又．

(SAS)．

．

點分別是的中點，

點分別是的中點

．

（2）∵

∴∠ABD=∠ACE

∵PM=PN

∴△PMN是等腰三角形

∵PM∥BD

∴∠DBE=∠MPE

∵PN∥BD

∴∠BNP=∠BCE

∵∠DBN=∠DBP+∠EBC=∠MPE+∠EBC

∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠MPE+∠EBC+∠PNB=∠DBN+∠BCE=∠ABC+∠ABD+∠BCE=∠ABC+∠ACE+∠BCE=∠ABC+∠ACB

∴∠BAC=120°

∴∠ACB+∠ABC=60°

∴∠MPN=60°

∴△PMN是等邊三角形

∴∠PMN=60°

故答案為60°.

（3）由（2）知△PMN是等邊三角形，PM=PN=BD

∴PM最大時，△PMN面積最大，PM最小時，△PMN面積最小

∴點D在BA的延長線上，△PMN的面積最大

∴BD=AB+AD=12

∴PM=6

∴

故答案為.