Question

小林在課堂上探索出只用三角尺作角平分線的一種方法：如圖，在已知∠AOB的兩邊上分別取點M，N，使OM=ON，再過點M作OB的垂線，過點N作OA的垂線，垂足分別為C、D，兩垂線交于點P，那么射線OP就是∠AOB的平分線．老師當場肯定他的作法，并且表揚他的創新．但是小林不知道這是為什么．
①你能說明這樣做的理由嗎？也就是說，你能證明OP就是∠AOB的平分線嗎？
②請你只用三角板設法作出圖∠AOB的平分線，并說明你的作圖方法或設計思路．

Answer 1

分析：①在△OCM和△ODN中，得出OC=OD，進而得出Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB．
②可作出兩個直角三角形，利用HL定理證明兩角所在的三角形全等．

解答：①證明：在△OCM和△ODN中，

∠COM=∠DON ∠OCM=∠ODN=90° OM=ON

，
∴△OCM≌△ODN（AAS），
∴OC=OD，
在△OCP與△ODP中，
∵

OC=OD OP=OP

，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
即OP平分∠AOB；

②解：a．利用刻度尺在∠AOB的兩邊上分別取OC=OD；
b．過C，D分別作OA，OB的垂線，兩垂線交于點E；
c．作射線OE，OE就是所求的角平分線．
∵CE⊥OA，ED⊥OB，
∴∠OCE=∠ODE=90°，
在Rt△OCE與Rt△ODE中，
∵

OC=OD OE=OE

，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴∠EOC=∠EOD，
∴OE為∠AOB的角平分線．

點評：此題主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的判定得出∠EOC=∠EOD是解題關鍵．