Question

拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經過點，0）、，0），它與y軸相交于點C，且∠ACB≥90°，設該拋物線的頂點為D，△BCD的邊CD上的高為h．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求高h的取值范圍；
（3）當（1）的實數a取得最大值時，求此時△BCD外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形各邊的關系，求得OC²=OA•OB，利用邊角關系，代入a值解得．
（2）過D作DE⊥OC，延長DC交x軸于點H，過點B作BF⊥CH于點F．利用頂點公式求得點D，由OC≤3，則tan∠OHC=≤，從而解得．
（3）求得a的最大值，求得h值，可得BD，BC，連接DG，由△DGB∽△BCF求得DG．
解答：解：（1）當∠ACB=90°時，OC²=OA•OB，
得OC=3
又∠ACB≥90°，
故OC≤3，
所以9a≤3，
∴0＜a≤．
（2）過D作DE⊥OC，延長DC交x軸于點H，過點B作BF⊥CH于點F．
因為D為拋物線的頂點，
所以D（，-12a），OE=12a，
又∵OC=9a，CE=3a，DE=，
易證△HCO∽△DCE，
有=3，
故OH=3DE=3，BH=OH-OB=2，
又OC≤3，則tan∠OHC=≤，
于是0＜∠OHC＜30°，
則h=BF=BHsin∠BHF≤BHsin30°=，
從而0＜h≤．
（3）當a取最大值時，a=，
此時h=，B（，0），C（0，-3），D（，-4），
可求BD=2，BC=2，
作直徑DG，易證△DGB∽△BCF，，
所以．
故DG=4，
即△BCD外接圓的半徑為2．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用，并涉及到了拋物線的頂點公式，利用三角形來求a的取值范圍，并考查了a的取值確定三角形外接圓半徑，利用三角形與拋物線之間的關系確定三角形某邊上高的取值范圍．