Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D點，E是AC的延長線上一點，連接BE，∠BEC+2∠CBE=90°．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若tan∠CBE=，求sin∠E的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形的性質和三角形的外角和定理以及已知條件即可證明∠ABE=90°，進而證明BE是⊙O的切線；
（2）設AE于圓交于點M，連接BM，過點C作CF⊥BE于F，利用圓周角定理以及全等三角形的性質和勾股定理即可求出AG的長，進而求出圓的直徑，sin∠E的值也可求出．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠E+∠CBE，
∴∠ABC=∠E+∠CBE，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=2∠CBE+∠BEC=90°，
∵AB為⊙O直徑，
∴BE是⊙O的切線；

（2）解：設AE于圓交于點M，連接BM，過點C作CF⊥BE于F，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠AMB=90°，
∴∠MBE+∠BEC=90°，
∵∠BEC+2∠CBE=90°，
∴∠MBE=2∠CBE，
∴∠MBC=∠FBC，
∴△MBC≌△FBC，
∵tan∠CBE=，
∴設CF=1，則BF=2，
∴BM=BF=2，CM=CF=1，
再設AM=x，
在Rt△AMB中，
AM=x，AB=AC=1+x，BM=2，
∴x²+2²=（x+1）²，
解得：x=，
∴AB=，
∵∠A+∠MBA=90°，∠A+∠E=90°，
∴∠E=∠MBA，
∴sin∠E=sin∠MBA===．
點評：本題考查了圓的切線的判定定理、三角形的外角和定理、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理的運用以及銳角三角函數的運用，題目的綜合性很強，難度不小，解題的關鍵是作垂線段構造全等三角形．