Question

已知x、y、z為實數，且x+y+z=5，xy+yz+zx=3，試求z的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：由x+y+z=5得y=5-x-z代入，xy+yz+zx=3得x（5-x-z）+（5-x-z）z+zx=3整理得出關于x的一元二次方程x²+（z-5）x+（z²-5z+3）=0，利用關于x的一元二次方程的判別式得到關于z的不等式，解這個一元二次不等式可求得z的取值范圍．
解答：解：由x+y+z=5得y=5-x-z代入xy+yz+zx=3得
x（5-x-z）+（5-x-z）z+zx=3
5x-x²-xz+5z-xz-z²+zx-3=0，
整理得
x²+（z-5）x+（z²-5z+3）=0
因為x是實數，那么關于x的一元二次方程的判別式是（z-5）²-4（z²-5z+3）≥0
解這個一元二次不等式，
得-1≤z≤．
故z的最大值為，最小值為-1．
點評：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，根據根的判別式以及不等式等知識點進行求解，考查學生的邏輯推理能力．