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(2004•襄陽)如圖,在平面直角坐標系內,Rt△ABC的直角頂點C(0,)在y軸的正半軸上,A、B是x軸上是兩點,且OA:OB=3:1,以OA、OB為直徑的圓分別交AC于點E,交BC于點F.直線EF交OC于點Q.
(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)請猜想:直線EF與兩圓有怎樣的位置關系并證明你的猜想;
(3)在△AOC中,設點M是AC邊上的一個動點,過M作MN∥AB交OC于點N.試問:在x軸上是否存在點P,使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)已知了C點的坐標,即可求出OC的值,題中告訴了OA,OB的比例關系,因此可用射影定理求出OA,OB的長,即可得出A,B兩點的坐標,然后用待定系數法可求出拋物線的解析式;
(2)證EF與圓的關系,可連接O1E,O2F證是否與EF垂直即可.連接OE,OF,那么四邊形EOFC是個矩形,根據矩形的對角線相等且互相平分的特點,可得出QO=QE,那么∠1=∠2,而∠3=∠4,因此可得出∠1+∠3=90°,即可證得,O1E⊥EF,因此EF是圓O1的切線,同理可證得EF也是圓O2的切線,因此EF是兩圓的公切線;
(3)①先求PM=MN時,P點的坐標,此時四邊形PMNO是個正方形,可根據相似三角形CMN和CAO來求出MN的長,即可得出P點的坐標.
②在①中已經得出四邊形MPON是正方形,因此P在O點時,也符合題中的條件,此時P點坐標即為原點坐標.
綜上所述即可求出符合條件的P的坐標.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,OC⊥AB,
∴△AOC∽△COB.
∴OC2=OA•OB.
∵OA:OB=3:1,C(0,),
∴(2=3OB•OB.
∴OB=1.
∴OA=3.
∴A(-3,0),B(1,0).
設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.

解之,得
∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-x2-x+;

(2)EF與⊙O1、⊙O2都相切.
證明:連接O1E、OE、OF.
∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°,
∴四邊形EOFC為矩形.
∴QE=QO,
∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°,
∴EF與⊙O1相切.
同理:EF與⊙O2相切;

(3)作MP⊥OA于P,設MN=a,由題意可得MP=MN=a.
∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO.


解之,得a=
此時,四邊形OPMN是正方形.
∴MN=OP=
∴P(-,0).
考慮到四邊形PMNO此時為正方形,
∴點P在原點時仍可滿足△PMN是以MN為一直角邊的等腰直角三角形.
故x軸上存在點P使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形且P(-,0)或P(0,0).
點評:本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形相似、直線與圓的位置關系、等腰直角三角形的判定等知點,綜合性強,考查學生分類討論,數形結合的數學思想方法.
練習冊系列答案
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