Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+3分別交x軸、y軸于A、B兩點．點C在第二象限，⊙C與直線AB和x軸分別相切于E、F兩點，連接CE、CF．

（1）如圖①，點D為線段AB上一點，⊙C的半徑為．若△CDE∽△BAO，求點D的坐標．
（2）如圖②，連接BC，當BC∥x軸時，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質得CF⊥AF，CE⊥AE，再利用相似的性質由△CDE∽△BAO得到∠CDE=∠OAB，則CD∥AF，于是D點的縱坐標為，然后把D點縱坐標代入直線解析式即可得到D點的橫坐標；
（2）先確定A點坐標（4，0），B點坐標（0，3），由于⊙C與直線AB和x軸分別相切于E、F兩點，得到CF⊥AF，CE⊥AE，所以四邊形BCFO為矩形，則CF=OB=3，得到CE=CF=3，
易證得△BCE≌△AOB，則CB=OA=4，然后可寫出C點坐標．
解答：解：（1）∵⊙C與直線AB和x軸分別相切于E、F兩點，
∴CF⊥AF，CE⊥AE，
∵△CDE∽△BAO，
∴∠CDE=∠OAB，
∴CD∥AF，
∵⊙C的半徑為，即CF=，
∴D點的縱坐標為，
把y=代入y=-x+3得-x+3=，解得x=2，
∴D點坐標為（2，）；

（2）把x=0代入y=-x+3得y=3；把y=0代入-x+3得-x+3=0，解得x=4，
∴A點坐標為（4，0），B點坐標為（0，3），
∵⊙C與直線AB和x軸分別相切于E、F兩點，
∴CF⊥AF，CE⊥AE，
∴四邊形BCFO為矩形，
∴CF=OB=3，
∴CE=CF=3，
在△BCE和△AOB中
，
∴△BCE≌△AOB，
∴CB=OA=4，
∴C點坐標為（-4，3）．
點評：本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；常利用三角形相似或全等求線段的長；明確求點的坐標就是求有關線段的長．