Question

如圖，△ABC中D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E為垂足，連接AE．
求證：（1）ED=DA；
（2）∠EBA=∠EAB
（3）BE²=AD•AC．

Answer 1

分析：（1）由∠BDC=60°，CE⊥BD，求得∠ECD=30°，根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得CD=2ED，又由CD=2DA，即可證得ED=DA；
（2）由（1）可求得∠EAD=∠DEA=30°，又由∠BAD=45°，即可得∠EAB的度數，然后由∠BDC=∠DBA+∠BAD，求得∠DBA的度數，即可證得∠EAB=∠EBA；
（3）根據有兩角對應相等的三角形相似，易證△AED∽△ACE，又由相似三角形的對應邊成比例，即可證得BE²=AD•AC．

解答：證明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
又∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°，（1分）
∴CD=2ED，（1分）
∵CD=2DA，
∴ED=DA；（1分）

（2）∵ED=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵∠EDC=60°，
∴∠EAD=∠DEA=30°，（1分）
∵∠BAD=45°，
∴∠EAB=15°，（1分）
又∠BDC=∠DBA+∠BAD，
∴∠DBA=15°，
∴∠EAB=∠EBA；（1分）

（3）∵∠EAB=∠EBA，
∴BE=AE，（1分）
∵∠AED=∠ACE，
∴△AED∽△ACE，（1分）
∴

AE

AC

=

AD

AE

，（1分）
∴AE²=AD•AC，
即BE²=AD•AC．（1分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意掌握數形結合思想的應用與有兩角對應相等的三角形相似，相似三角形的對應邊成比例，直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半定理的應用．