Question

【題目】如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是弧AB上任一點（點P不與點A、B重合），連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．

（1）求∠APC的度數．

（2）求證：△PCM為等邊三角形．

（3）若PA＝1，PB＝3，求△PCM的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠APC＝60°；（2）見解析；（3）S△PCM=4．

【解析】

（1）利用同弧所對的圓周角相等即可求得題目中的未知角；
（2）利用同弧所對的圓周角相等即可求得題目中的未知角，進而判定△PCM為等邊三角形；
（2）利用上題中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段證得兩三角形全等，進而利用△PCM為等邊三角形，進而求得PH的長，利用三角形的面積公式計算即可．

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

∴∠APC＝∠ABC＝60°；

（2）∵∠BPC＝∠BAC＝60°，

∵CM∥BP，

∴∠PCM＝∠BPC＝60°，

又由（1）得∠APC＝60°，

∴△PCM為等邊三角形；

（3）解：∵△ABC是等邊三角形，△PCM為等邊三角形，

∴∠PCA+∠ACM＝∠BCP+∠PCA，

∴∠BCP＝∠ACM，

在△BCP和△ACM中，

，

∴△BCP≌△ACM（SAS），

∴CM＝CP，AM＝BP＝3，

∴CM＝PM＝1+3＝4，

作PH⊥CM于H，

在Rt△PMH中，∠PMH＝60°，PM＝4，

∴PH＝2 ，

∴S△PCM＝PHCM＝×4×2＝4．